Сочетание на Дне может вызвать нежелательные ассоциации. Лучше написать: наградят в День района или на праздновании Дня района.
Нормативной рекомендации нет.
Правильно: в размере одной тысячи двухсот семидесяти четырех рублей. Можно облегчить грамматическую задачу, сократить составное числительное и убедиться в том, что словосочетание употребляется в форме родительного падежа; ср.: (в размере) четырех рублей. Запись в финансовых документах может допускать расшифровку в варианте, предполагающем форму именительного падежа числительного: в размере одна тысяча двести семьдесят четыре рубля.
Да, склоняется.
Тире поставлено верно. Возможно, слова вне закона лучше заключить в кавычки, так как они употребляются в переносном смысле.
Воспользуйтесь окном «Искать на Грамоте» в «Словарь имён собственных»).
Да, склоняется. Мужские и женские фамилии, оканчивающиеся на -а после согласной (например, Лоза), обычно склоняются по первому склонению.
Корректно слитное написание.