Правильно: пройти внутрь квартала.
Предпочтительна форма множественного числа. Подробно см. Письмовник.
Корректно слитное написание.
В третьем примере запятая перед куда не нужна.
Если это предложение целиком, то обе формулировки небезупречны. Возможные варианты: Желающим пройти вакцинацию следует обращаться в кабинет 15 и Желающие пройти вакцинацию, пожалуйста, обращаетесь в кабинет 15.
Вас напрасно поправляют. Вариант пойти за водой, за грибами и т. д. общеупотребительный и стилистически нейтральный, вариант пойти по воду, по грибы уместен в разговорной, в народно-поэтической речи.
Запятая здесь отделяет присоединительную конструкцию.
Верно: Конфликт не привлек внимания...
Запятая нужна. Она должна отделить придаточную часть сложного предложения от главной.