1. Не помню чем. Но обидела.
2. Чем – не помню. Но обидела.
Запятая перед союзом чем нужна: здесь он присоединяет придаточную часть со значением сравнения. От таких случаев нужно отличать сочетание больше чем в предложениях, не содержащих сравнения: Он был больше чем художник — он был поэт; Выпуск продукции увеличился больше чем вдвое и т. п.
Запятая нужна: При таких нагрузках сжигается больше калорий, чем обычно.
Запятая не требуется в связи с тем, что слова "кто чем хотел" тесно связаны по смыслу со сказуемым (фактически являются его частью).
Вы написали верно.
Конструкции-повторы предложных сочетаний с формами местоименных слов пишутся без каких-либо знаков внутри: На чём на чём нам надо поехать?
В приведенном контексте "чем вспомнить" означает "каким способом, при помощи чего" следует вспомнить "то, чем в жизни этой бренной сердце жадно надышалось".
В этой фразе не нужны запятые.
Крыться – глагол первого спряжения: В чём же кроются причины?
