Обстоятельство времени после каждого дождя не является общим для двух частей сложносочиненного предложения, потому что во второй части есть свое обстоятельство времени (следствия) тогда. Следовательно, запятая перед союзом и нужна.

Судя по всему, обстоятельство от помыслов шалых относится к обеим грамматическим основам этого предложения. Если так, то запятая не нужна.

Да, с одной Н, хотя лучше заменить это слово причастием изображены.

Правильно: бутылка красного бордо...

В постановке точки с запятой нет необходимости: части предложения распространены незначительно и связаны словом ведь (частицей, которая здесь близка по значению к союзам так как, потому что и т. п.). Вместо точки с запятой лучше поставить запятую.

Между частями предложения лучше поставить двоеточие: Посадил он перед подъездом маленький саженец и сказал соседям: если они не будут трогать дерево, то все у них будет хорошо.

Верно: одну третью долю дома и одну треть дома.

Сочетание во время — это предлог.

Ваши сомнения оправданны. На первый взгляд может показаться, что недочитать и не дочитать означают одно и то же и достаточно одного раздельного написания. Однако есть контексты, которые подтверждают правильность фиксации в словаре слова недочитать, позволяют почувствовать специфические оттенки значения, отличающие недочитать от не дочитать. 

Если не прочитать это произведение, многое в поэзии Дорожкиной можно недочитать, недочувствовать, недопонять, а самого автора недолюбить.

И эту жизнь надо прожить достойно, потому что обещали тем, кто недомечтал, недочитал, недоучил, не дожил.

Возможно, потому, что им самим в детстве недочитали сказок родители.

Поэтому лучше перечитать, чем недочитать.

В этих предложениях нет значения прерванного, не доведенного до конца процесса чтения (ср. с не дожить из примера выше), здесь недочитать имеет значение 'читать мало, недостаточно' и раздельное написание невозможно.