Представляется более корректным считать за грибами дополнением (пошли за чем?). Но не будет ошибкой и такой разбор этого предложения, при котором слова за грибами будут выделены как обстоятельство цели (пошли с какой целью?).
Слово гриль выступает здесь в качестве неизменяемого определения, следующего за существительным. Сочетания с такими определениями пишутся раздельно, ср.: юбка клеш, масса нетто, вагон люкс, цвет электрик и т. п.
В этом случае корректно написание со строчной.
Запятую следует поставить перед союзом зато на границе частей сложносочиненного предложения.
Вас напрасно поправляют. Вариант пойти за водой, за грибами и т. д. общеупотребительный и стилистически нейтральный, вариант пойти по воду, по грибы уместен в разговорной, в народно-поэтической речи.
Правильно: все в грязи, «жигули» остановились.
Правильно: одной из основных причин.
Корректно:
- картофель жареный с грибами;
- картофель, жаренный с грибами;
- помидоры, фаршированные грибами.
