Как можно заметить по представленным примерам, выбор предлога зависит от используемого глагола. Нужно уточнять глагольное управление (т. е. выбор предлога) в словаре, в словарной статье, посвященной соответствующему глаголу.

Аббревиатурные названия марок автомобилей в кавычки не заключаются. Правильно: ГАЗ, ЗИМ, ЗИЛ. Буква И тоже должна быть прописная.

Постараемся ответить подробнее. Варианты завкафедрой, замдекана, завбиблиотекой орфографически правильны. Первые части сложных слов зав..., зам... пишутся слитно. Однако такие формы более характерны для устной речи и не всегда могут быть уместны на письме (например, вряд ли возможно в подписи к официальному документу: завбиблиотекой). Полные же варианты заведующий библиотекой, заместитель декана являются стилистически нейтральными и применяются как в устной, так и в письменной речи. От них и образуются сокращения зав. библиотекой, зам. декана, являющиеся нормативными и общеупотребительными.

Вы правы, предлог за здесь лишний. Правильные варианты: платите за газ, оплачивайте газ, оплачивайте счета за газ.

Употребляются оба варианта.

Аббревиатуру СУГ не нужно заключать в кавычки.

Корректно: Сделать это можно, только дав гарантии безопасности. Правило таково.

Деепричастный оборот, в начале которого стоят частицы только, лишь, интонационно не отделяется от предшествующей части предложения (при чтении пауза перед ним не делается), но запятая перед ним обычно ставится: Понять это произведение можно, только учитывая условия его создания; Выучить иностранный язык можно, лишь постоянно занимаясь им. Но (при тесном слиянии оборота со сказуемым): Они встретились только будучи уже взрослыми.

Да, деепричастие уходя выделяется запятыми: уходя, гасите свет.

Оборот в связи с этим обособлять не нужно. Если второе полугодие 2016 г. – это и есть отчетный период, то лучше так: В связи с этим ввод данных в ГАС Управление за следующий отчетный период (2-е полугодие 2016 г.) станет доступен с 01.01.2017.