Корректно: сердце бьется вновь, а думал: нет его...
Между одиночным определением и следующим за ним причастным оборотом требуется одиночная запятая: Этот человек зажигает особыми чувствами и мое, привыкшее к Родине сердце. Сравним примеры из параграфа 38 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина: Даже старые, серыми лишаями покрытые ветви деревьев зашептали о прошлых днях (М. Г.); Стоячий, заблудившийся в воздухе запах цветов пригвожден был зноем неподвижно к клумбам (Б. Паст.) и др.
Оба варианта корректны, чаще пишут с запятой.
В значении "после" верно: по прибытии, по истечении срока.
Дополнительные знаки препинания не нужны.
Возможны варианты пунктуации – в зависимости от контекста и интонации.
В каком смысле? "Вовремя"?
