Кавычки нужны: быть на «ты».
В значении "останавливать свое внимание на чем-либо" - залипать на чем-либо. Отметим, что такое употребление не является литературным (нормативным).
Если в статье речь идет о влиянии того-то на то-то на примере такого-то, то данное название полностью соответствует ее содержанию.
Правильно: Большая земля в значении «материк»: на Большой земле.
«Словарь географических названий» А. В. Суперанской (М., 2013) указывает, что географические названия в сочетании с термином мыс обычно не склоняются (кроме тех случаев, когда топоним выражен прилагательным): на мысе Челюскин, но на мысе Погодном.
Правильно: на озере Байкал. Названия озер не склоняются в сочетании с родовым словом озеро. Исключение составляют случаи, когда топоним выражен прилагательным: на Онежском озере.
Нормативно: на тросе.
Правильно: на клею.
Правильно: на Москву-реку.
