Имена и фамилии, оканчивающиеся на гласный -и, не склоняются. Правильно: выражаем благодарность Эльви.

Большой орфоэпический словарь русского языка

КРЕСТИ́ТЬ, крещу́, кре́стит и допуст. устарелое крести́т

ОКРЕСТИ́ТЬ, окрещу́, окрести́т и допуст. окре́стит

СКРЕСТИ́ТЬ, скрещу́, скре́стит и скрести́т

Большой толковый словарь русского языка

ПОКРЕСТИ́ТЬ, -крещу́, -кре́стишь

Грамматическая форма глагола — условного наклонения. Грамматические формы глаголов могут использоваться для выражения разных коммуникативных значений. Например, вопрос Не могли ли бы вы закрыть окно? выражает просьбу, хотя буквальный его смысл подразумевает лишь ответ «могу» или «не могу». Кстати, совсем не очевидно то, что фраза пришел бы ты пораньше выражает именно просьбу.

Дело в том, что начальная форма глагола ответишь - ответить, а инфинитив глагола отвечаешь - отвечать (соответственно, получить - получишь, получать - получаешь). На этих примерах названный Вами алгоритм работает, только нужно внимательнее относиться к виду глагола, не путать глаголы совершенного и несовершенного вида, образуя неопределенную форму и личные формы настоящего времени.

Глагол уберечь можно отнести к непроверяемым, так как нет проверочного слова с ударным слогом бе. Однако учеными недавно был предложен способ проверки для корней с полногласными сочетаниями (ере, оло): в таких корнях написание определяется проверкой хотя бы одной гласной (бере́чь) или подбором слова с неполногласием (небрежный). Этот способ пока малоизвестен и в школе не применяется.

А. В. Суперанская в «Современном словаре личных имен» указывает, что Илларион и Иларион – орфографические варианты одного имени. Форма Иларион по происхождению первична, она восходит к греческому hilaria 'веселье'. 

Корректно слитное написание, так как в предложении нет противопоставления с союзом а, нет слов, зависимых от формы с не.

Запятая не требуется, поскольку определение относится к неопределенному местоимению.

Р. п. - Бабинока, д. п. - Бабиноку, т. п. - Бабиноком, п. п. - о Бабиноке.