Фразеологизм – устойчивое сочетание слов, постоянное по своему составу и значению, воспроизводимое в речи как готовая единица. Иногда выделяют еще фразеологические выражения. Это членимые и разложимые словосочетания и предложения, значение которых складывается из значений составляющих их слов, но у них есть одно сходство с фразеологизмами – постоянство состава, воспроизводимость в речи в качестве готовых единиц. Таковы пословицы, поговорки, «крылатые слова», цитаты из известных художественных произведений.

Таким образом, в Вашем случае можно говорить о поговорке или о фразеологическом выражении.

Вы задали очень интересный вопрос. В «Словаре сочетаемости слов русского языка» под ред. П. Н. Денисова и В. В. Морковкина, в толковых словарях возможность образования сочетаний по модели (по)хвалить кому-то не отмечается. Однако в Национальном корпусе русского языка единичные примеры есть:

― Я был простой мужик, голяк; вы точно меня вытащили из грязи, похвалили моему барину-князю. [Г. П. Данилевский. Воля (1863)]

Хотя директор и похвалил мне предварительно преподавателя, но я остался не совершенно доволен преподаванием, сравнивая его с тем, которое слышал в других местах. [К. Д. Ушинский. Педагогическая поездка по Швейцарии (1862-1863)]

В утешение могу сообщить тебе приятную новость: нынче на лекции у нас Никольский даже похвалил нам тебя. [В. П. Авенариус. Гоголь-студент (1898)]

Ее он охотно взял и, прочитав один, похвалил мне потом вечером и вдруг неожиданно для меня заговорил совсем дельно... [Н. А. Морозов. Повести моей жизни/ Во имя братства (1912)]

По вечерам, придя с работы и управившись по хозяйству, Васькина мать выходила за калитку похвалить соседкам своего брата, капитана. [В. Ф. Панова. Сережа (1955)]

Чтобы не молчать, он похвалил матери Таню... [Г. Е. Николаева. Битва в пути (1959)]

Полагаем, что выражение учитель похвалил родителям их сына считать грубой ошибкой не стоит. Однако в современной речи такой оборот нежелателен. 

Деепричастный оборот употреблен некорректно. Возможный вариант: Образцы осторожно измельчили с помощью пестика и ступки без перемалывания.

Смысл предложения в том, что подходящего специалиста сложно найти.

Поскольку оборот как руководитель успешной компании имеет оттенок причины, запятые нужны.

Предложенный Вами вариант невозможен, поскольку здесь нет слова вообще. Запятая перед и в частности нужна, она выделяет уточняющий оборот.

Это предложение с однородными придаточными если налаживать отношения уже поздно и ничего нельзя сделать. Поскольку они соединены союзом и, запятая между ними не требуется. Верная пунктуация: Но даже если налаживать отношения уже поздно и ничего нельзя сделать, всегда можно расстаться с человеком на чистой ноте.

Это разговорный оборот (см. последнее значение в статье толкового словаря), он допустим в непринужденной речи.

Предлог в целях не является устаревшим. Оба варианта широко используются, но предлог в целях чаще употребляется в официальных текстах и практически никогда в разговорной речи.

Постановка запятых не требуется.