Аббревиатура ОРИ не зафиксирована ни словарем сокращений, ни орфографическим словарем. Закономерным и наиболее удобным для произношения представляется вариант [ори́]. Аббревиатуры, состоящие из сочетания гласная буква + согласная + гласная, обычно являются звуковыми, например: АГО [аго́] (автогражданская ответственность), АСУ [асу́] (автоматизированная система управления), ИТУ [иту́] (исправительно-трудовое учреждение), ОЗУ [озу́] (оперативное запоминающее устройство).

Вряд ли аббревиатуры из той же тематической группы ОРВИ и ОРЗ, которые произносятся как [оэрви́] и [оэрзэ́], могут повлиять на ОРИ и мотивировать произношение с начальным сочетанием [оэр]. После твердого согласного звук [и] не произносится, он меняется на [ы]. Но с конечным [ы] аббревиатура станет трудноузнаваемой. 

Такое ударение некорректно. Верно: из «РоснЕфти», «ГазпромнЕфти», «ТранснЕфти».

После точки как знака сокращения не ставится точка в конце предложения. В остальном точка как знак сокращения не влияет на пунктуацию: если оборот должен быть обособлен, он обособляется и при наличии в конце его сокращения с точкой, например: Иван, родившийся в 1985 г., встретил Машу...

Приведенный Вами пример не показателен. Во-первых, запятые не нужны: обороты, присоединяемые предлогом в ответ на, обычно не обособляются. Во-вторых, не нужно и сокращение г.: если дата записывается цифрами, то слово года или сокращение г. после даты не требуется. Корректно: В ответ на исходящие № 1 от 07.09.15 и № 5 от 21.09.15 сообщаем, что...

За глаголом остаться довольно часто следует глагол несовершенного вида. Вот несколько примеров.

Иван Иванович и я остались ждать в парке, а Клавдия Тихоновна отправилась искать Николая Владимировича, чтобы узнать о возможности устройства нашей судьбы. Д. Гранин, «Зубр». Сергей хотел сразу же уехать, но Павел Алексеевич попросил его остаться ночевать. Л. Улицкая, «Казус Кукоцкого». Старик помнил, что вроде бы все инструменты он продал в тяжелые времена ― но, видать, самые мелкие и тонкие остались ждать своего часа в углу за веником. Л. Петрушевская, «Маленькая волшебница».

Предложение Он всегда останется помочь построено корректно. Сочетание останется помогать также возможно, но не в данном предложении.

Написание с прописной нарицательных существительных, используемых не в своем обычном значении, потерявших свое прямое значение, регламентировано для имен собственных — имен людей (Ричард Львиное Сердце) и составных географических названий (Кузнецкий Мост, Ясная Поляна). Написание Радужные Столбы соответствовало бы правилу, если бы это сочетание было прозвищем или географическим названием, например: Иван Радужные Столбы, поселок Радужные Столбы.

Вряд ли целесообразно настолько расширять функции прописной буквы, чтобы использовать ее для выделения самых разных наименований, где слово используется не в своем прямом значении. В одних случаях достаточно одной прописной в начале названия, в других — использования кавычек или других выделительных средств (например, курсива).

Такого правила не существует (во всяком случае, нам оно неведомо). Можно говорить разве что о традиции, которая возникла, вероятно, по двум причинам: во-первых, практически все женские имена в русском языке заканчиваются на -а, -я, то есть это является их отличительным признаком; во-вторых же, добавление гласного к именам, в оригинале оканчивающимся на глухой согласный, удобно в целях благозвучия, легкости произнесения. При этом в современной практике употребления существует множество иностранных женских имен, которые оканчиваются на согласный: Клер, Джун, Эдит, Ирен и т. п.

К японскому имени Карин точно не стоит добавлять -а, дабы оно не совпало с именем Карина, имеющим иное происхождение.

Как указано в этимологическом словаре Макса Фасмера, вероятно, слово моська возникло как уменьшительно-ласкательное от мопс. Это соотносится и с информацией в толковом словаре.

Слово значит нужно отделить запятой. А вот порядок слов может быть свободным; в разговорной речи возможно: Начинай, значит, учиться; начинай учиться, значит.

Вероятно, для разговорной речи можно признать допустимым вариант без родового слова, но с названием в несклоняемой форме. В строгой литературной речи родовое слово необходимо.