Вы правы: указанная запятая не нужна.

Нужно поставить запятые на границах частей сложного предложения: Звонок ставится на паузу, в течение которой первый оператор консультирует второго, после чего происходит перевод звонка, который принимается новым оператором сразу или ставится в очередь ко второму оператору.

Время, указанное в первом предложении (Напишу текст за 30 минут), не относится ко второму предложению (Нарисую иллюстрации, если это необходимо). 

При общей вопросительной интонации предложения сохранить восклицательную интонацию цитируемой фразы вряд ли возможно, поэтому восклицательный знак не имеет смысла сохранять. Фраза играет роль дополнения при глаголе кричите, что не предполагает ее оформления как прямой речи: Кричите «нам капитализм»?

Да, вполне корректно. 

В поэтической речи допускается использование слова рассмеясь, однако нужно учитывать, что оно стилистически не нейтрально: Тот, ра̀ссмея̀сь, как ха̀ркнет в снѐг: ― «На то̀ и ба̀ба ― хва̀стается» [М. И. Цветаева. Пастушество [Егорушка, 2] (1921)]; ― «Пусто̀е! ― ра̀ссмея̀сь, вскрича̀ло мѐлко плѐмя. ― Как бу̀дто на̀м в поля̀х друго̀го ко̀рма нѐт!» [И. И. Дмитриев. Ласточка и птички (1797)]. 

Запятая перед соединительными и разделительными союзами в сложносочиненном предложении не ставится, если в его состав входят вопросительные предложения: Это кто такие и что им надобно? (П.) — объединяет вопросительная интонация; Который теперь час и сколько времени осталось до отхода поезда?; Когда состоится конференция и какова повестка дня?; Вы придёте ко мне или мне прийти к вам?

Правильно: Благодаря чему Павел и Варнава были такими успешными учителями и как мы можем им подражать?

Часть на условиях договора, контракта, лицензионного соглашения с производителями информации относится только к документам, размещенным на внешних технических средствах, получаемым библиотекой во временное пользование через информационно-телекоммуникационные сети. В противном случае предложение было бы построено иначе.