Корректно поставить двоеточие.
Да, во всех подобных звательных формах мягкий знак не пишется: Миш, Танюш, Саш, Наташ и т. д. Связано это вот с чем. Во-первых, мягкий знак пишется после шипящих на конце существительных в именительном падеже (мышь, фальшь), формы Миш, Танюш, Наташ – особые, это усечение именительного падежа (Миша, Танюша, Наташа). Во-вторых, написание Ь в словах типа мышь, рожь обусловлено исключительно традицией, историей языка, истоки такого написания стоит искать в древнерусском языке. Неслучайно поэтому каждый раз, когда заходит речь об усовершенствовании нашей орфографии, лингвисты предлагают отменить написание Ь после шипящих на конце слов, писать мыш, рож, фальш и т. д. (такие предложения звучали и в 1910-е, и в 1930-е, и в 1960-е). А звательные формы Миш, Танюш, Саш, Наташ, Серёж возникли недавно, у них нет такой древней истории, как у слов мышь, рожь, поэтому мягкому знаку на конце этих форм просто неоткуда взяться.
Запятая перед как нужна. Подробнее см. в "Справочнике по пунктуации".
Можно поставить или запятую, или тире. Эти знаки будут выражать разные смысловые отношения и передавать разную интонацию: запятая соответствует перечислительной интонации, тире выражает противительные отношения.
Никакой знак препинания после слова просьба не нужен.
В этом бессоюзном сложном предложении требуется двоеточие: Просьба: не хлопай дверью!
