Судя по контексту, здесь сочетание не знай..., не знай... употреблено в роли разделительного союза (в каких-либо источниках, в том числе в «Словаре русских народных говоров», этот союз не удалось найти), синонимичного союзу то ли..., то ли.... После союза не требуются какие-либо знаки препинания. Что касается вводного слова оказывается, то оно не образует единого сочетания с союзом а (его изъятие возможно без нарушения структуры предложения, сравним: ...а по паспорту она Клавдия). Таким образом, верно: Она с сыном живет. Капитолина Самарина. Хотя не знай Капитолина, не знай Клавдия. Мы все ее Капитолиной звали, а, оказывается, по паспорту она Клавдия.

Вы правы. Это обращение к неопределенному множеству лиц, местоимение вас следует в данном случае писать строчными.  Написание Вы, Ваш с прописной уместно разве что в закрытых разделах веб-сайтов, которые подразумевают индивидуальное использование их каждым конкретным посетителем (регистрационная форма, личный кабинет пользователя и др.).

Дело в том, что наречие тут разговорное (в словарях оно сопровождается пометой разг.), а здесь – общеупотребительное и стилистически нейтральное. Поэтому в непринужденной разговорной речи употребление слова тут вполне допустимо, а вот на письме (и в строгой официальной речи) его лучше избегать.

Тире не требуется, верен второй вариант.

Фамилия Цюра склоняется (и мужская, и женская). О том, как правильно произносить эту фамилию и куда ставить ударение, следует спросить у ее носителя.

Да, тире уместно. Но и его отсутствие не было бы ошибкой.

Не обособляются распространенные определения, стоящие после существительного, если последнее само по себе в данном предложении не выражает нужного смысла и нуждается в определении.

Таким образом, первая запятая не требуется: Будучи человеком наделенным кое-какими способностями, я по совету академика стал записывать мысли, приходящие мне в голову.