Поскольку в кавычки заключены слова, с помощью которых люди продают себе иллюзию заботы о здоровье, можно оформить фрагмент как конструкцию с прямой речью («продаёт, говоря»); точка в конце предложения-вставки ставится перед закрывающей скобкой: Огромное количество людей, покупая БАДы, продаёт самим себе иллюзию заботы о здоровье: «Да, я не делаю ничего, что действительно повлияло бы на мое здоровье. Но я выпью горсть таблеток — и почувствую себя причастным к здоровому образу жизни». (Нет.)

Слово пока не обрело окончательного облика в русском языке и употребляется в двух вариантах (шорле и шорли). Ударение в любом случае стоит на последнем слоге — это обусловлено французским происхождением названия напитка.

Корректно: десять — тридцать три — одиннадцать.

Обе фразы правильны.

Правильно раздельное написание: Тем, кто дружен, не страшны тревоги. Обратите внимание: «синонимичное выражение», которое Вы называете, тоже содержит слово «не», подобрать синоним без «не» не получается. Это говорит о том, что здесь не создается новое понятие, здесь акцент на отрицании (отрицании страха). Ученикам можно так и объяснить: пишем раздельно, потому что перед нами отрицание признака, а не утверждение нового понятия.

Словосочетание масло масляное, формально содержащее лексическую ошибку — тавтологию, стало в русском языке устойчивым оборотом: так говорят о ничего не объясняющем, не добавляющем ничего нового повторении того же самого другими словами; о тавтологичном обороте в речи как нарушении её правильности. Если сочетание употребляется как устойчивое (а иное употребление предположить сложно), то, разумеется, никакой ошибки в этом нет.

Полное название театра орфографически верно писать так: Центральный академический театр Российской армии. Если вместо полного названия употребляется усеченное, первое слово в нем пишется с большой буквы: Театр Российской армии.

Оба варианта корректны, но в приведенном контексте предпочтительно множественное число сказуемого, подчеркивающее раздельность предметов: ...понять, как работают тело и сознание.

Правильно: кавычки-елочки, кавычки-лапки.

Написание автодорога Казань — Ульяновск — Камское Устье означало бы, что дорога начинается в Казани, проходит через Ульяновск и заканчивается в Камском Устье. Между тем речь идет о дороге, которая начинается на одном из участков дороги Казань — Ульяновск и уходит в сторону от нее, заканчиваясь в Камском Устье. Таким образом, сочетание «Казань — Ульяновск», взятое в кавычки, выступает в данном случае как условное составное обозначение начального пункта автодороги.