Правильно: ГАУ ДПО «СОИРО» провело мероприятие. Согласование — по опорному слову учреждение.

Употребление кавычек зависит от контекста, но по общему правилу названия стилей не требуют кавычек.

Глагол умереть применим и к животным тоже.

Вот примеры из классиков.

Мыши вообразили себе, что кот умер, и высыпали из всех своих нор, чтобы праздновать свое торжество. Но кот не умер, а только притворился умершим, чтобы тем удобнее рассмотреть своих врагов и узнать их норы (Салтыков-Щедрин). Бакай хотел мне что-то сказать, но голос у него переменился, и крупная слеза скатилась по щеке ― собака умерла; вот еще факт для изучения человеческого сердца (Герцен). Собака умерла в сильных мучениях ― мысль о стрихнине была оставлена (Ходасевич).

Предложение Кот умер полностью корректно.

Корректно: На финише недосчитались десяти человек. 

Слитно пишется не- в составе приставки

Слитно пишется не- в составе приставки недо-:

• недо- со значением неполноты, недостаточности по сравнению с нормой, напр.: недовес, недоделка, недомерок, недооценка, недочёт; недоспелый, недоразвитый; недовыполнить, недодать, недоедать, недополучить, недосказать, недосмотреть, недосолить, недоспать, недосчитаться. 

От глаголов с приставкой недо- следует отличать глаголы с приставкой до- и предшествующей частицей не (такие глаголы с частицей не обозначают не доведенное до конца действие). Ср.: Недосмотрел за ребёнком и Не досмотрел до конца пьесу; Они хронически недоедают и Он обычно не доедает свою порцию. 

Название не зафиксировано академическим орфографическим словарем. Корректно написание со строчной буквы по аналогии с названиями игрушек, образованных от собственных имен. Ср.: 

Бурати́но, нескл., м. (сказочный персонаж) и бурати́но, нескл., м. (игрушка)

Часть сложных слов комбо-, как и слова с этой частью, словарями пока не отмечается. Но в них можно найти элемент комби-. Список слов с частью комби- можно получить с помощью академического орфографического ресурса «Академос». Для этого нужно в поисковой строке набрать комби*. 

Как писать слова с комбо-, если есть в этом необходимость? Пока отсутствует словарная фиксация, лучше придерживаться правила и писать слитно, как и комби-. Так как слова с комбо- новые в нашем языке, их часто пишут с дефисом, для облегчения восприятия. Но по мере освоения написание подобных слов часто меняется на слитное.

Верная форма фразеологизма: как кур вО щи, ударение на предлоге.

В современном русском языке конкурируют два варианта этого фразеологизма, но словари фиксируют только одну форму, см., например, М. В. Зарва, Русское словесное ударение или Большой толковый словарь русского языка.

Об этом фразеологизме писал В. А. Успенский: «Так, абсолютное большинство говорит как кур в ощип (хотя куда же еще куру и попадать?), вместо правильного как кур во щи (см., например, Толковый словарь русского языка под ред. Д. Н. Ушакова на слово кур)» (В. А. Успенский. Привычные вывихи // «Неприкосновенный запас», 15.05.2002).

Вот что говорится о таких случаях в параграфе 33.3 справочника по пунктуации Д. Э. Розенталя: «Если главная часть сложноподчиненного предложения находится внутри придаточной (в разговорном стиле речи), то запятая обычно ставится только после главной части (а перед ней не ставится); ср.: Хозяйством нельзя сказать, чтобы он занимался… (Г.) — Нельзя сказать, чтобы он занимался хозяйством; Но слова эти мне неудобно, чтобы ты сказала… (Герц.) — Но мне неудобно, чтобы ты сказала эти слова».

Следовательно, верно: Я тебе об этом уже даже не знаю, сколько раз говорил, говорю и буду говорить.

Словарной фиксации нет, но, по аналогии с супер-эго, корректно писать супер-ид. Использование прописной буквы возможно.

Запятые не нужны, но по иной причине: здесь оборот с союзом "как" не является сравнительным.