Связь опосредованная: и в том, и в другом слове есть "яблочный" корень (pomme, apple).
Конечно, можно. Это слово входит в состав современного русского литературного языка.
В этих случаях слово тот является соотносительным словом, показывающим, что при главной части имеется придаточная. По отношению к местоимениям и существительным в главной части (он, Гомер, лидер) это поясняющее приложение.
Наречие порой предполагает, что здесь нужно деепричастие несовершенного вида: не находя себе покоя порой. В целом по смыслу, возможно, следует оставить деепричастие не найдя и заменить слово порой каким-то другим словом.
Возможна постановка интонационно-логического тире.
Воспользуйтесь, пожалуйста, «Справочником по пунктуации».
Само по себе это сочетание не является достаточным основанием для постановки запятой.
