См. ответ на вопрос № 219226.
Это абсолютные синонимы.
То есть как отличить? Например, небо было пасмурно (род прилагательного соответствует роду определяемого слова) и на улице было пасмурно (определяемого слова нет и быть не может).
Эти приставки синонимичны в значении 'мнимый, ложный'. Но происхождение у них разное: псевдо... восходит к греческому языку, квази... – к латыни. Кроме того, у приставки квази... есть и второе значение: она обозначает отнесенность к квазарам (самоизлучающимся телам во Вселенной, подобным звездам): квазизвезда, квазиизлучение, квазиоптика, квазипустота.
См. в «Словаре трудностей».
О соотношении этих глаголов можно прочитать в «Словаре-справочнике трудностей русского языка».
В таких конструкциях пишется частица НИ: Чему бы грабли ни учили, а сердце верит в чудеса.
