Поскольку само сочетание аппарат полномочного представителя... имеет официальный характер, написание слова президент с прописной буквы не будет в данном случае противоречить норме.

Оперативно значимая пишется раздельно потому, что это сочетание наречия и прилагательного: значимая (с какой стороны? в каком плане?) оперативно. Сложные прилагательные оперативно-служебный и оперативно-поисковый пишутся через дефис потому, что в них сочинительное отношение основ: оперативный и служебный, оперативный и поисковый.

Указанное сочетание знаков препинания действительно не предусмотрено правилами русской пунктуации. Соглашаясь с Вами в рассуждениях о соотношении незавершенности и вопросительной интонации в приведенном высказывании, рекомендуем разбить его на два, одно из которых вопросительное, другое незавершенное: Это просто сообщение? Или...

Традицией закреплено сочетание на Аляске (если речь идет о полуострове; ср. на Камчатке, на Таймыре). Однако употребление в этом сочетании предлога в объяснимо в тех случаях, когда речь идет о штате Аляска (ср. в Техасе, в Калифорнии). См., например, название статей Г. Лозинского «Русская печать в Аляске и для Аляски» (Временник общества друзей русской книги. — Париж, 1938), М. Гавриловой «Суммарная радиация в Аляске» (Вопросы актинометрии и атмосферной оптики. — Л.: Гидрометеоиздат, 1957) и др.

Выбор зависит от контекста. Например: трудиться на уборочных работах, участвовать в уборочной кампании.

Корректно: 1. А те, кто с таким воодушевлением сунул меня в реку, могут понять: их враг все-таки выжил. 2. Мне не нужно многого. Всего лишь чтобы он был согласен пойти со мной. 3. Только вот, встав у зеркала, я на миг замер. / Только вот встав у зеркала, я на миг замер. (Пунктуация зависит от смысла: от того, к какой глагольной форме (замер или встав) относится сочетание только вот.)

Приведем цитату из академической «Русской грамматики»: «В образованиях с морфом -ск- и мотивирующей основой на сочетание ˝согласная + |с|˝, в том числе на сс, первая согласная суф. морфа фонетически поглощается финалью корневого: саксы — сакский, Прованс — прованский, Уэльс — уэльский, Одесса — одесский, Пруссия и пруссы — прусский, Донбасс — донбасский (Русская грамматика. М., 1980. Т. 1. § 633).

Сочетание «очень раскалённый» не зафиксировано в русских текстах. Рекомендуется использовать наречие сильно: сильно раскалённый.

В смысловом отношении это сочетание избыточно, но в советские времена оно утвердилось как официальное обозначение разновидности детского дошкольного учреждения.

Сочетание город-спутник (город, расположенный вблизи более крупного города и составляющий с ним единую экономическую и демографическую систему) является терминологическим и пишется через дефис, в том числе в случаях, когда при нем есть зависимые слова: город-спутник Владивостока; Население Владивостока вместе с его городами-спутниками составляет...