Словообразовательная цепочка, демонстрирующая ступени образования слова поверье выглядит следующим образом: вери-ть → по-верить → повер[j-е].

Производящее слово поверить, суффикс -[j]- (вариант суффикса -и[j]-). С помощью этого суффикса образуются отглагольные существительные, которые совмещают в своем значении присущее производящему глаголу значение действия (или состояния) со значением существительного как части речи, ср.: бесчестить → бесчестье, удушать / удушить → удушье, доверять / доверить → доверие и др. При образовании производной основы повер[j]- происходит усечение производящей глагольной основы: повери-.

В «Словообразовательном словаре» А. Н. Тихонова в качестве производящего для слова поверье указан глагол верить, однако при таком подходе остается неясным, какое значение в словообразовательную модель вносит приставка по-, которая очевидным образом является глагольной со значением результативности действия (значение совершенного вида) и появляется на ступени верить → по-верить, ср.: строить → по-строить, белить → по-белить, бить → по-бить и др.

Словообразовательная модель, по которой образовано слово поверье (← поверить) описана в «Русской грамматике), т. I, §259. Академическая грамматика является наиболее авторитетным источником, описывающим систему современного русского языка.

Это префиксоид.

В этом слове под- является приставкой.

Первые две буквы в этом слове представляют собой искаженную латинскую приставку ad,  соответствующую по значению русскому предлогу "к"; буквально: к климату (приспособление).

Арт - первая часть сложного слова. В данном случае пишется через дефис: арт-гостиная.

Верно: нео-поп-арт (дефис после нео-... ставится из-за того, что поп-арт пишется через дефис).

Апробация - от лат. approbatio.

В современном русском языке приставка не выделяется. Корень: проказ-.

Супервосторг пишется слитно по общему правилу.