Слово сверчок состоит из корня и нулевого окончания. Исторически связано с глаголами сверкать, диалектным сверчать 'стрекотать' (о сверчке). Информация доступна здесь.
Корень исчез-.
Лучше: для соблюдения правил личной гигиены...
Все предложение построено некорректно: неправильно использован деепричастный оборот (из фразы следует, что "мечты должны листать страницы дней", а это не имеет смысла). Предложение необходимо переформулировать.
В слове современник суффиксы -ен- и -ник-.
Допустимо: выпить чая, выпить чаю, выпить (весь) чай. Вариант выпить чаю более употребим в разговорной речи.
Возможны оба варианта: выпить чаю, прибавьте мне салату (в разговорной речи) и выпить чая, прибавьте мне салата (стилистически нейтральный, общеупотребительный вариант).
 
                         
                 
                         
                         
                        