Слово день тут ни при чем. Непроизносимый согласный в словах праздник, праздничный можно проверить краткой формой исторически родственного им прилагательного праздный 'не занятый делом, работой': празден. Но в школьной практике праздник чаще дается как словарное.
Да, такое употребление корректно.
Правильно: День Победы (праздник 9 Мая).
Запятая не нужна в двух случаях: 1) если автор хочет подчеркнуть тесное смысловое единство слов будни и праздники (и в будни и в праздники – то есть всегда), 2) если первый союз и является присоединительным и служит для связи данного предложения с предыдущим.
Запятая поставлена верно.
Название праздника нужно писать без кавычек: День древонасаждения.
После слова "праздник" и после "прекрасный" не нужно ставить запятую.
Правильно гулять в праздник.
Эти слова не однокоренные, но исторически родственные.
