Написание проверяется по орфографическому словарю. Сейчас нормативно слитное написание: шоурум, хотя раньше академический «Русский орфографический словарь» предлагал писать шоу-рум через дефис. 

Спасибо, что указали на разночтения. Мы должны направить запрос об этом слове редакторам словаря.

Словарная фиксация менялась. В 4-м издании «Русского орфографического словаря» РАН было дано дефисное написание (и это отражено в наших старых ответах), однако впоследствии академический орфографический словарь изменил написание на слитное. Современная орфографическая норма: шоурум.

Актуальная словарная фиксация на академическом орфографическом ресурсе «Академос» Института русского языка им. В. В. Виноградова РАН: шоурум.

Пока слово осваивалось языком, его родовая принадлежность была неустойчива, и это отмечалось словарями. В последних изданиях академического орфографического словаря шоурум (именно в слитном написании!) дается как слово мужского рода. См. ресурс «Проверка слова».

Да, все верно. Существительное мужского рода, склоняется.

Согласны, слитное написание более логично. Вероятно, составители руководствовались сложившейся практикой письма при внесении дефисного варианта в словарь.

Корректное написание: онлайн-шоурум.

Словарная фиксация: шоу-рум. См.: Русский орфографический словарь РАН / Под ред. В. В. Лопатина, О. Е. Ивановой. – 4-е изд., испр. и доп. – М., 2012.

Следует писать слитно.