Словари
подмы́шки, -шек, ед. подмы́шка, -и (подмы́шки намо́кли; пиджа́к жмёт в подмы́шках)
Ответы справочной службы
«Но» относится к раздельному написанию вместо слитного.
Корректно: поддерживать под мышками, поддерживать за подмышки.
Справочники
Вводные замечания Наречия, образованные с помощью приставок от слов различных частей речи, в соответствии с общими правилами слитного и раздельного написания пишутся слитно. Однако существует объективная сложность разграничения в языке наречий с приставками и сочетаний существительных с предлогами, выражающих, как и наречия, обстоятельственные значения. Кроме того, среди наречий есть значительное количество единиц, традиционное раздельное написание которых не соответствует как общему принципу ...
...под мышкой и т. п. следует отличать существительное подмышки...
...подмышки и натёр (где?)...
...О существительном подмышки (ср. наречное сочетание...
Журнал
В связи с шестидесятилетием действующих правил правописания предлагаем вниманию читателей архивную статью Сергея Ефимовича Крючкова, опубликованную 26 мая 1956 года в «Учительской газете». В этой статье сообщается об утверждении нового свода правил русского правописания, который официально действует до сих пор (сам свод правил был принят весной и издан в августе 1956 года, к началу нового учебного года). Автор рассказывает о принципах унификации правописания, о практических шагах по введению нового свода.
...В связи с шестидесятилетием действующих правил правописания...
...например: камешек и камушек, идти и итти, под мышки и подмышки...
