Можно написать: бьюти-задач. Или, например, заменить это слово так: ...для решения моих задач по сохранению красоты...
Последние ответы справочной службы
В данном случае кавычки излишни.
Страница ответаОба варианта корректны.
Страница ответаТакое именование последовательно склоняется: у Хиблы Герзмавы.
Страница ответа