Возможны варианты: Фестиваль силовых видов спорта открыл регистрацию на 2026 год, мероприятие пройдет 25 апреля; Открыта регистрация на фестиваль силовых видов спорта, который пройдет 25 апреля. 

Согласно правилам пунктуации (§ 145) если в цитируемом тексте уже имеется цитата, то пользуются кавычками разной формы — «лапочками» („ “) и «елочками» (« »). «Лапочки» (или «лапки») — внутренний знак; «елочки» — внешний. Например: «„Уважение к минувшему — вот черта, отличающая образованность от дикости“, — сказал когда-то Пушкин. Подле этой черты мы, похоже, теперь и остановились, сознавая, что нельзя отступать назад...» (Расп.). То же касается и употребленных внутри цитаты названий, выделяемых кавычками.

Однако в интересующем Вас случае название не находится внутри цитаты, поэтому можно использовать кавычки одного рисунка. 

Правильно: «Наша продукция используется в разных областях жизни, — рассказал директор компании «Название компании» И. Иванов, — и мы производим ее совместно с партнерами»; «Продукция компании "Название компании" используется в разных областях жизни, — рассказал директор компании И. Иванов, — и мы производим ее совместно с партнерами».

Географические названия в сочетании с родовым словом обычно не склоняются, когда род обобщающего нарицательного слова и топонима не совпадают: на реке Енисей, у реки Днепр, в деревне Парфёнок (однако это замечание не относится к сочетаниям со словом город, поэтому правильно: в городе Туле, из города Москвы).