При использовании церковного торжественного пожелания долголетия и благополучия следует сохранять его традиционную форму: многая (и благая) лета.

Верно: возложить полномочия по государственной регистрации актов гражданского состояния на органы власти.

В таких ситуациях придерживаемся следующего порядка действий. В словосочетании главное слово — эквивалент, следовательно, прежде всего уточняем особенности его грамматической сочетаемости с зависимыми словами. Словарные примеры часто представлены в минимальном наборе, но в нашем случае выражение русский эквивалент английской пословицы можно использовать в качестве  полезной иллюстрации. Если необходимы иные подтверждения или опровержения «основной гипотезы», то за ними отправляемся в НКРЯ (Национальный корпус русского языка) и проводим дополнительный набор иллюстраций по заданным критериям. В нашем случае это конструкция из первого слова эквивалент и второго слова, которое маркируем как существительное (на расстоянии одного шага). Поисковая выдача на подобный запрос — около ста цитат. Очевидно, что такой материал может подтвердить или опровергнуть наши предположения. Наше предположение: предпочтителен вариант эквивалент добра.