Словари
лже... – первая часть сложных слов, пишется слитно, но: Лже-Нерон, лже-социал-демократ, лже-Христос
ЛЖЕ... Первая часть сложных слов, которая может быть выделена сильным ударением при определённых условиях во фразе, напр.: Вот у кого, а вовсе не у толпы лжеучителей должны поучиться законодатели. Чуковская. Дом поэта.
Ответы справочной службы
Согласно правилам координации, верно: лже азартные игры, лже-онлайн-казино.
Правильно раздельное написание, т. к. часть лже относится к сочетанию слов: лже сотрудник МВД.
Правилен второй вариант. Недопустимо слитное или дефисное написание с приставкой или первой частью сложного слова, если вторая часть содержит пробел, т. е. представляет собой сочетание слов. В этих случаях слитные или дефисные написания, рекомендуемые основными правилами, должны заменяться раздельными. Ср.: лже доктор наук, псевдо произведение искусства, теле круглый стол, мини стиральная машина.
Справочники
Вводные замечания Назначение этих правил — предупреждать появление таких написаний, которые следуют из основных правил, но нарушают сложившиеся закономерности сочетаемости букв в слове или затрудняют правильное понимание смысловых отношений между соединяемыми языковыми единицами. Другое их название — правила координации — показывает, что сущность этих правил состоит в учете соотношений между слитным, дефисным и раздельным написаниями.
...Корректирующие правила (правила координации)...
...Например, следует писать: лже доктор наук, псевдо произведение искусства, теле круглый стол, мини стиральная машина; экс Советский Союз, псевдо Ван Гог, пол рабочего дня, пол столовой ложки, пол Московской области; то же в парных конструкциях с полу: полудеревни — полу дачные посёлки, полу санаторий...
