Словари
ИЗЖИ́ТЬ, изживу́, изживёт; изжи́л, изжила́ (! неправ. изжи́ла), изжи́ло и допуст. младш. изжило́, изжи́ли; изжи́тый; изжи́т, изжита́ (! не рек. изжи́та), изжи́то, изжи́ты \\ и[жж]и́ть (! не рек. и[зж]и́ть).
Ответы справочной службы
Да, написание в кавычках корректно.
Справочники
§ 84. Прилагательные с суффиксом ск, образованные от слов с основой на гласную + ск, оканчиваются на -сский, напр.: дамасский (от Дамаск), этрусский (этруски), сан-францисский (Сан-Франциско), баусский (Бауска); но: баскский (от баски), оскский (от оски — древняя племенная группа). В прилагательных с тем же суффиксом, образованных от слов с основой на ст, эта основа целиком сохраняется, т. е. пишется -стский, напр.: марксистский (от марксист), фашистский (фашист), брестский ...
...приставки и корня: бесшовный (от шов), сшить, сжать, изжить...
Согласные могут уподобляться друг другу (подвергаться ассимиляции) не только по глухости / звонкости, твердости / мягкости, но и по другим признакам – месту образования преграды и ее характеру. Так, подвергаются уподоблению согласные, например, в следующих сочетаниях: [с] + [ш] → [шш]: сшить [шшыт’] = [шыт’], [с] + [ч’] → [щ’] или [щ’ч’]: с чем-то [щ’э́мта] или [щ’ч’э́мта], [с] + [щ’] → [щ’]: расщепить ...
...rsquo;ип’и́т’], [з] + [ж] → [жж]: изжить...
