Орфографический ресурс Института русского языка им. В. В. Виноградова «Академос» в настоящее время фиксирует только один нормативный вариант — бейдж (прежде допустимо было бейдж и бедж). Правильно: ленты для бейджей.

Бедж?

Верно: бедж, нет беджей. Ср.: нет картриджей.

Наша рекомендация: бедж (руководствуемся написанием в «Русском орфографическом словаре» РАН).

К разнобою в словарных рекомендациях мы советуем относиться спокойно: надо помнить, что недавно заимствованные слова в процессе их освоения языком часто испытывают колебания в написании, поэтому в разных словарях (и даже в разных изданиях одного и того же словаря) можно встретить неодинаковое написание. Что делать в таких случаях? Ориентироваться на рекомендации словарей: а) более «свежих»; б) специализирующихся на данной проблеме, т. е. проверять написание по орфографическому словарю (а не по толковому, орфоэпическому и др.).

Что касается написания в «Большом толковом словаре» – мы передадим Ваше замечание главному редактору словаря С. А. Кузнецову (Санкт-Петербург, Институт лингвистических исследований РАН).

Беджей.

Рекомендация орфографического словаря: бедж.

Правильное написание: бедж (именная карточка).

Скорее всего, Вы правы: в словарях неточность. Для ответа на Ваш вопрос нам нужно проконсультироваться с редакторами Орфографического словаря.