Верно написание со строчной буквы: карельская Арктика.

Коммуникативно выделенное слово Арктика действительно выполняет роль приложения к существительному название, находящемуся внутри причастного оборота, и закрывать оборот перед этим приложением было бы странно. Ситуация, когда внутри причастного оборота необходимо поставить тире перед каким-либо коммуникативно выделенным словом, в справочниках не кодифицирована. Но, если перестроить предложение невозможно, тире (без запятой) представляется единственно приемлемым вариантом.

Слово соответственно является вводным, если употреблено в значении «следовательно, значит». В данном случае значение другое, так что выделение этого слова не требуется.

Сочетание с приложением-словом пишется через дефис, а между подлежащим и сказуемым ставится тире: Ледокол-атомоход «Арктика» — сложный чудо-корабль. 

Действительно, существует особая группа территорий, представление о которых включает исторический, политический, этнический, культурный, эстетический и пр. компонент, в отличие от собственно географических (природных) территорий, названия которых не содержат никаких дополнительных коннотаций. Например, Балтия — это не территория вокруг Балтийского моря, а Латвия, Литва и Эстония, связанные с Россией общей историей; под Восточной Европой понимают не просто часть европейского континента, а часть, населенную преимущественно славянскими народами. Север — полярные и приполярные территории, Арктика. Но сочетание Юг России в написании с заглавной буквы закрепилось в русском культурном фонде как название территории, подконтрольной белогвардейцам в 1918—1920 гг., ср.: Вооруженные силы Юга России — объединенные вооруженные силы Белого движения, образованные 8 января 1919 г. в результате соглашения между командующим Добровольческой  армией А. И. Деникиным и атаманом Донского казачьего войска П. Н. Красновым. Только в таком значении и следует писать с заглавной буквы Юг России.

Корректно: Центральная Арктика.

Правильно: на севере Германии, на юге Франции. Слово Север пишется с большой буквы в значении 'полярные и приполярные территории, Арктика' (Кольский Север, Крайний Север), также: Война Севера и Юга (в истории США).

В орфографическом словаре – тоже с прописной: север, -а и (полярные и приполярные территории, Арктика) Север, -а; Крайний Север; Европейский Север, Кольский Север, Обский Север, Тюменский Север; Война Севера и Юга (в США, ист.).

Правила таковы. Прилагательные, образованные от географических названий, пишутся с прописной (большой) буквы, если они являются частью составных географических и административно-территориальных названий (напр.: Российская Арктика) или наименований организаций, учреждений (напр.: Российский университет дружбы народов). В остальных случаях такие прилагательные пишутся со строчной (маленькой) буквы: российское законодательство, российские просторы, российская делегация. Правильно: Мужики сделали пьедестал российским!