Да, запятая ставится.

В тексте-рассуждении предложение вполне может начинаться со слова например, если это предложение иллюстрирует высказанный в предыдущем изложении тезис. Не рекомендуется начинать само рассуждение (или его часть) со слова например, это логическая ошибка.

В этом случае запятая после вводного слова например не требуется, поскольку оно находится в начале обособленного оборота: Она применяется, когда нужно работать на высоте в одном месте, например при монтаже конструкций или ремонте.

 Члена предложения, который назывался бы уточнением, не существует. А вот уточняющая функция приложению как раз присуща.

Корректно: Я изучаю иностранные языки, например английский и французский.

Запятая после вводного слова например не нужна: если вводное слово стоит в начале обособленного члена предложения (в данном случае пояснительного), то оно не отделяется от него знаком препинания.

О пунктуации при слове например см. в «Справочнике по пунктуации».

Да, такое употребление корректно. Темный и подсел здесь — однородные члены предложения (сказуемые), они вполне могут быть выражены словами разных частей речи.

Возможны варианты оформления предложения: 

• Сделайте для кого-нибудь доброе дело, например окажите услугу.
• Сделайте для кого-нибудь доброе дело — например, окажите услугу.

Д. Э. Розенталь указывает: если между главной и придаточной частями сложноподчиненного предложения стоит вводное слово, то оно выделяется запятыми на общих основаниях. Согласно этой рекомендации корректно: Закаляться важно, например, чтобы снять стресс.

Однако такое пунктуационное оформление может порождать двусмысленность: здесь акцент на примере (логическое ударение падает на слова снять стресс) или на важности закаливания (логическое ударение падает на слово важно)? Поэтому для выражения второго смысла лучше использовать тире вместо первой запятой: Закаляться важно — например, чтобы снять стресс.