Провести – многозначное слово, у него есть и другие значения, помимо приведенных Вами. См. словарную статью.

Правильно: риелтор. Всё же написание слов надо проверять по орфографическому словарю, а не по газете «Комсомольская правда» :)

Черкануть пару (несколько) строк.

Кануть в Лету (книжн.) - 1) бесследно и навсегда исчезнуть, уйти в небытие (о человеке); 2) быть навечно забытым, преданным забвению (о событиях, фактах, воспоминаниях). Выражение восходит к греческой мифологии, где Лета - река забвения в подземном царстве Аида, царстве мертвых.

Правильно: кануть в Лету. См.: Русский орфографический словарь РАН / Под ред. В. В. Лопатина, О. Е. Ивановой. – 4-е изд., испр. и доп. – М., 2012.

Руководствуемся словарной фиксацией в академическом «Русском орфографическом словаре» (4-е изд., М., 2012).

Существительное обсчет может обозначать действие по глаголам обсчитать и обсчитаться. В свою очередь, у глагола обсчитать есть два значения: 1. Умышленно неверно сосчитав, недодать. 2. (Спец.) Произвести подсчет чего-л., просчитать что-л.

В данном случае подходит второе значение. На это указывает и сочетаемость слова: оно используется с дополнением заказа. Если бы речь шла о неверном подсчете, такого сочетания не могло быть (автор написал бы: обсчет покупателя или что-то подобное).

Таким образом, быстрый обсчет заказа — это профессионализм, означающий быструю обработку (расчет) заказа.

Разговорные глаголы шикануть и шиковать зафиксированы в словарях со значением 'проявлять в чем-л. шик, щегольство; делать что-л. широко, с размахом'.

На практике глагол шикануть в значении 'похвастаться чем-либо' иногда используется, но это просторечное употребление.

Правильно с прописной: кануть в Лету.