Зайти на огонек – зайти в гости к друзьям, знакомым без предупреждения, запросто. Есть две версии происхождения этого оборота: 1) выражение связано с прежним обычаем ставить на окне зажженную свечу в знак того, что хозяева дома и к ним можно зайти; 2) на огонек значит 'на миг', т. е. на очень короткое время, достаточное, чтобы получить, зажечь огонь или только погреться.

...Зайти на огонек...

...Зайти на огонек – зайти в гости к друзьям...

Днём с огнём не найти (чаще неодобр.) – очень трудно, практически невозможно отыскать кого-либо, что-либо. Выражение, по одной из версий, связано с преданием о греческом философе-кинике Диогене (400–323 гг. до н. э.), который расхаживал в толпе народа днем с зажженным фонарем в руках и на вопрос, что он ищет, отвечал:  «Человека ищу!» – т. е. настоящего человека среди испорченного общества; отсюда ходячее выражение: такого человека днем с ...

...Днём с огнём не найти ...

...Днём с огнём не найти (чаще неодобр....

На мази – дело близко к благополучному осуществлению, к удачному завершению. Первоначально выражение применялось к повозкам и вообще к таким орудиям или средствам передвижения, которые смазывались перед поездкой. На мази означало в переносном смысле 'скоро уедет, уже налажено к отправлению и к ходу, готово к движению, к поездке'. Ср. немецкое fertig 'готов', восходящее к глаголу fahren 'ехать'.

...На мази...

...На мази – дело близко к благополучному осуществлению...