СЛАВА БОГУ, междометное выражение и вводное сочетание  1. Междометное выражение. Выражает удовлетворение чем-либо. Выделяется (или отделяется) запятыми, если произносится без восклицательной интонации. При усилении эмоциональности используется восклицательный знак. Слава богу, надоело им, поверили, ушли наконец. А. и Б. Стругацкие, Пикник на обочине. «Меня-таки взяли на работу». – «Слава богу!» 2. Вводное сочетание. То же, что «к счастью».

...Выражает удовлетворение чем-либо....

НА СЧАСТЬЕ, вводное сочетание Выражает удовлетворение, радость по поводу чего-либо; то же, что «к счастью». Подробно о пунктуации при вводных словах и сочетаниях см. в Прил. 2. Сунулся было в окошко, да, на счастье, косяки были святой водой окроплены, так его словно огнем обдало; взвыл да назад кинулся. А. Бестужев-Марлинский, Cтрашное гаданье. На счастье, ее встретила одна младшая сноха Лукерья, глуповатая и несообразительная бабенка. Д.

...НА СЧАСТЬЕ, вводное сочетание Выражает удовлетворение...

ПО СЧАСТЬЮ, вводное слово Вводное слово «по счастью», а также вводные сочетания «по счастью (для кого-либо), выражающие удовлетворение, радость по поводу чего-либо, обособляются. Подробно о пунктуации при вводных словах и сочетаниях см. в Прил. 2. По счастью, такая семья только и существует в преданиях да в славянских мечтах. А. Герцен, Сорока-воровка. Дуэль, по счастью, окончилась благополучно. А. Куприн, Поединок. Но Блок, слава богу, иная, // Иная, по счастью, статья. // Он ...

...сочетания «по счастью (для кого-либо), выражающие удовлетворение...