Класть зубы на полку (шутл.) – испытывая нужду, ограничивать себя в самом необходимом; голодать; переходить из-за отсутствия материальных средств на полуголодное существование. Есть две версии происхождения оборота. По одной из них, в выражении не имеются в виду чьи-либо собственные или вставные зубы, которые за ненадобностью кладут на полку. Зубы, зубья имеют многие орудия труда: пила, грабли, вилы. Есть работа – кусок хлеба обеспечен, нет – клади ...

...Класть зубы на полку (шутл.) – испытывая...

...Класть зубы на полку...

Тихой сапой - исподтишка, скрытно, незаметно. Выражение связано с речью военных. Сапой называли подкоп или ров, который делался при наступлении войск в открытой местности для скрытного, незаметного приближения к позиции противника. Слово сапа заимствовано из французского, где sape означает  «траншея, подкоп». Во французский язык оно пришло из итальянского: zappa - заступ, мотыга.

...Тихой сапой - исподтишка, скрытно, незаметно....

...Тихой сапой...