Вводные замечания Наречия, образованные с помощью приставок от слов различных частей речи, в соответствии с общими правилами слитного и раздельного написания пишутся слитно. Однако существует объективная сложность разграничения в языке наречий с приставками и сочетаний существительных с предлогами, выражающих, как и наречия, обстоятельственные значения. Кроме того, среди наречий есть значительное количество единиц, традиционное раздельное написание которых не соответствует как общему принципу ...

...наугад, наутёк, наутро, начеку, начистоту, нашармака, наяву...

§ 83. Пишутся слитно: 1. Наречия, образованные соединением предлогов с наречиями, например: доныне, извне, навсегда, напротив, насквозь, позавчера, послезавтра, донельзя, навряд ли, задаром. От таких наречий следует отличать пишущиеся раздельно сочетания предлогов с неизменяемыми словами, употребляемыми в этих случаях в значении существительных, например: до завтра, на авось, на нет (свести на нет), на ура. 2. Наречия, образованные соединением предлогов 

...настежь, настороже, натощак, наугад, наутек, начеку, наяву...

Калиф на час (книжн. ирон. или пренебр.) – 1) о человеке, получившем власть случайно, на короткое время; 2) о человеке, случайно и ненадолго ставшем кем-либо, занявшемся делом, которое ему не свойственно (обычно престижным). Выражение восходит к арабской сказке «Сон наяву, или Калиф на час» из сборника «Тысяча и одна ночь».

...Выражение восходит к арабской сказке «Сон наяву...

НА БЕДУ / НЕСЧАСТЬЕ, вводное слово То же, что «к сожалению, к несчастью». Подробно о пунктуации при вводных словах и сочетаниях см. в Прил. 2. Но, на беду, это всё был народ, с которым было трудно ладить, народ торопливый, занятой или же принадлежащий свету... Н. Гоголь, Портрет. На несчастье, поблизости стоял один из неопытных в охоте северных азиатов с луком. И. Ефремов, На краю Ойкумены. На несчастье, когда муж постучался, у жены в ...

...;на беду // Разлучит судьба нас не во сне, а наяву...