Зайти на огонек – зайти в гости к друзьям, знакомым без предупреждения, запросто. Есть две версии происхождения этого оборота: 1) выражение связано с прежним обычаем ставить на окне зажженную свечу в знак того, что хозяева дома и к ним можно зайти; 2) на огонек значит 'на миг', т. е. на очень короткое время, достаточное, чтобы получить, зажечь огонь или только погреться.

...Зайти на огонек – зайти в гости к друзьям...

Вверх по лестнице, ведущей вниз – о действиях, которые на первый взгляд способствуют чему-либо, изменяя ситуацию к лучшему, а на самом деле только ухудшают положение. Это выражение – заглавие романа американской писательницы Бел Кауфман (1911–2014), которое в свою очередь возникло из докладной записки начальника административного отдела школы, где преподавала писательница: «Задержан мною за нарушение правил: шел вверх по лестнице, ведущей вниз».

...Вверх по лестнице, ведущей вниз – о...

Гора родила мышь –  об интенсивных усилиях, стараниях сделать нечто большое, значительное, которые завершаются смехотворно малыми результатами. Выражение восходит к басне Эзопа. Римский поэт Гораций употребляет его, высмеивая плохих стихотворцев, которые хотят создать нечто монументальное, «родить горы», но в тяжких муках творчества разрешаются лишь ничтожно малым мышонком: «Горы хочет родить, а родится смешной мышонок». Русская поговорка – результат ...

...Гора родила мышь –  об интенсивных...

Несолоно хлебавши — обманувшись в своих ожиданиях, не добившись желаемого, встретив плохой прием. Выражение несолоно хлебавши связано с тем, что соль на Руси была дорогим и труднодобываемым продуктом. «Хлебать с солью» считалось примерно таким же признаком состоятельности, как в наши дни «сладко есть». Солил еду всегда хозяин: тому, кого любил и уважал - больше, а незнатному посетителю соли иногда вовсе не доставалось.

...Несолоно хлебавши — обманувшись в своих...

Сфинксова загадка (книжн.) - 1) задачи, требующие большой сообразительности и остроумия для их решения; 2) что-либо непонятное, загадочное, неразрешимое. В греческой мифологии Сфинкc - чудовище с лицом и грудью женщины, туловищем льва и крыльями птицы, обитавшее на скале около города Фивы. Сфинкс подстерегал путников и загадывал им загадки, умервщляя тех, кто их не разгадывал. Когда же фиванский царь Эдип разгадал заданные ему загадки, чудовище лишило себя жизни.

...Сфинксова загадка (книжн.) - 1) задачи, требующие...

МЕЖ(ДУ) ТЕМ, наречие и союз 1. Наречие. То же, что «в то же время, тем временем». Не требует постановки знаков препинания. Алексей (читатель уже узнал его) между тем пристально глядел на молодую крестьянку. А. Пушкин, Барышня-крестьянка. Дети между тем бегали по улице оборванные, неумытые; весьма вероятно, часто даже бывали голодны... Д. Григорович, В ожидании парома. «Третьего дня, я смотрю, он Пушкина читает»

...МЕЖ(ДУ) ТЕМ, наречие и союз 1. Наречие...

Драть как сидорову козу (прост.) – сильно, жестоко и безжалостно пороть, бить кого-либо. По наиболее распространенной версии, выражение связано с тем, что именем Сидор в народе называли зажиточного, но скупого и мелочного человеке. Далее объяснения оборота разнятся: 1) Сидор и свою козу даже за мелкую провинность драл (бил) безжалостно; 2) в сравнении отраженно стремление мести Сидору: если он сам недосягаем для наказаний, то пусть хоть его козе достанется основательно.

...Драть как сидорову козу (прост.) – сильно...

Идти ва-банк – идти на большой риск, действовать с отчаянной смелостью, ничего не боясь. Выражение – полукалька с французского va banque «он идет на банк», «идет банк». Возникло в речи любителей картежной игры в результате смешения «французского с нижегородским». Сначала в среде игроков появилось французское выражение, слившееся затем в нашей речи в слово ва-банк. После этого слово было включено во фразеологическую схему со словом 

...Идти ва-банк – идти на большой риск, действовать...

Клин клином вышибать – уничтожать результаты каких-либо действий или какое-либо состояние теми же средствами, которыми они были вызваны. Пословицу связывают с колкой дров, при которой поленья раскалывают, забивая клин в сделанную топором щель. Если клин застрянет в древесине, не расколов ее, то выбить его (а вместе с этим и расколоть полено) можно лишь вторым, более толстым клином. Это бытовое наблюдение, как и рожденная на его основе пословица, уходит в глубокую древность.

...Клин клином вышибать – уничтожать результаты...

Медвежья услуга – неумелая, неловкая услуга, приносящая вместо помощи вред, неприятность. Фразеологизм восходит к басне И. А. Крылова «Пустынник и Медведь» (1808), рассказывающей о дружбе Пустынника с Медведем. Однажды Пустынник лег спать, а Медведь отгонял от него мух. Согнал муху со щеки, она села на нос, затем на лоб. Медведь взял увесистый булыжник и со всей силы ударил им Пустынника в лоб, убив не только муху, но и друга.

...Медвежья услуга – неумелая, неловкая услуга...