ПОД ПРЕДЛОГОМ (чего), предлог Обороты, присоединяемые предлогом «под предлогом», могут обособляться. О факторах, влияющих на расстановку знаков препинания, см. в Прил. 1. Она под предлогом головной боли рано ушла в свою комнату. И. Гончаров, Обыкновенная история. В К. его задержал смотритель под предлогом неимения лошадей, но, в сущности, по уговору, который он сделал давно с содержателем гостиницы, – задерживать на день всех проезжающих.

...ПОД ПРЕДЛОГОМ (чего), предлог Обороты, присоединяемые...

ПРИ ТОМ(,) ЧТО, союз Придаточные предложения, присоединяемые союзом «при том(,) что», выделяются (или отделяются) запятыми. При этом союз может целиком входить в придаточную часть (и не разделяться запятой), но может и расчленяться (в этом случае запятая ставится между частями союза, перед словом «что»). О факторах, влияющих на расстановку знаков препинания, см. в Прил. 3. Их семейной жизни не хватало тепла, доверия, при том что Анна действительно ...

...ПРИ ТОМ(,) ЧТО, союз Придаточные предложения,...

§ 112. Между частями сложносочиненного предложения ставится запятая. При этом между ними устанавливаются отношения соединительные (союзы и, да в значении «и», ни... ни), противительные (союзы а, но, да в значении «но», однако, же, зато, а то, впрочем), разделительные (союзы или, либо, ли... или, ли... ли, то ли... то ли, то... то, не то... не то), присоединительные (союзы да и, и притом, также, тоже, значит) и пояснительные (союзы а именно, то есть, или в ...

...§ 112. Между частями сложносочиненного предложения...

§ 127. Между частями бессоюзного сложного предложения при перечислении ставится запятая: Океан с гулом ходил за стеной черными горами, вьюга крепко свистала в отяжелевших снастях, пароход весь дрожал (Бун.); Темнело, подмораживало, в кухню подавали воду. Приходили дети, на них шикали (Б. Паст.); С детства тянуло далекое и неведомое, всегда хотелось куда-то и на чем-нибудь уехать (Чив.); С неделю тянул ветер, теплело, отходила земля, ярко доцветала в степи поздняя лунистая зеленка (Шол.);

...§ 127. Между частями бессоюзного сложного предложения...