Разверзлись хляби небесные (обычно ирон.) - о сильном дожде, ливне. Фраза восходит к библейскому повествованию о Всемирном потопе, который сопровождался ливнями сорок дней и ночей.  Хлябь (устар.) - бездна, глубина.

...Разверзлись хляби небесные (обычно ирон.)...

Ходить гоголем (одобр. или шутл.) - 1) о молодцевато, подчеркнуто бодро и самоуверенно расхаживающем человеке; 2) (народн. неодобр.) о горделиво, подбоченясь расхаживающем бездельнике. Оборот образовался путем сравнения человека с уткой-нырком (дилектное гоголь), которая на суше ходит медленно, вперевалку, закинув назад голову.

...Ходить гоголем (одобр. или шутл.) -...

Царевна Несмеяна (народн.шутл.) - серьёзная задумчивая женщина, которую трудно рассмешить; тихоня, скромница. Царевна Несмеяна - персонаж русской народной сказки, царская дочь, которая  «никогда не улыбалась, никогда не смеялась, словно сердце её ничему не радовалось».

...Царевна Несмеяна (народн.шутл.) - серьёзная задумчивая...

Эликсир жизни (книжн.) - о том, что бодрит, придаёт силы. Эликсир жизни - волшебный напиток, который пытались получить алхимики для того, чтобы продлить человеческую жизнь, сохранить молодость.

...Эликсир жизни (книжн.) - о том, что бодрит, придаёт...

Узы Гименея (книжн.) - брак, супружество. Гименей - бог брака, изображался с ярмом и путами на ногах.

...Узы Гименея (книжн.) - брак, супружество. ...

Укромный уголок - уеднинённое, тихое место. Выражение исконно русское. Слово укромный того же корня, что кромка, кроме, связанные с понятием края, отдаления, ограничения.

...Укромный уголок - уеднинённое, тихое место. Выражение...

Утечка мозгов, утечка умов - эмиграция научно-технических и творческих работников. Выражение - калька с английского brain drain.

...Утечка мозгов, утечка умов - эмиграция научно-технических...

Серая мышь - о тихом, незаметном человеке.

...Серая мышь - о тихом, незаметном человеке....

Сжигать (сжечь) мосты - делать невозможным возврат к чему-либо, отрезав себе путь к отступлению. Выражение связано с историей войн и военных походов, во время которых решительные полководцы, преодолев водную преграду, сжигали за собой мосты, чтобы избавить себя и своих воинов от соблазна отступления.

...Сжигать (сжечь) мосты - делать невозможным возврат...

Скатертью дорога (прост.) - пожелание убираться вон, куда  угодно. Первоначальное значение выражения  - пожелание счастливого пути: чтобы дорога была гладкой, как скатерть на столе.

...Скатертью дорога (прост.) - пожелание убираться...