Покупать кота в мешке - приобретать что-либо, не зная ничего о качестве и достоинствах приобретаемого. Выражение известно во многих иностранных языках (во французском, китайском и др.). Оно восходит к средним векам, когда мошенники старались продать кота вместо зайца или кролика.

...Покупать кота в мешке - приобретать что-либо,...

Промедление смерти подобно – медлить нельзя, недопустимо. Это слова Петра I в письме сенату в 1711 году перед Прутским походом. Петр благодарил сенаторов за их деятельность и просил в будущем не откладывать важных решений, «понеже пропущенiе времени смерти невозвратной подобно».

...Промедление смерти подобно – медлить нельзя,...

Официально-деловой стиль – один из книжных, используется в сфере деловых отношений, деловых бумагах, т. е. законах, документах, актах, договорах, постановлениях, уставах, служебной переписке и др. Задача этого стиля – сообщить информацию, дать инструкцию. Официально-деловой стиль характеризуется точностью, однозначностью, неличным характером, стандартизированностью построения текста, долженствующе-предписывающим характером текста. Для официально-делового стиля характерно ...

...Официально-деловой стиль – один из книжных...

Втирать очки – обманывать кого-либо, представлять что-либо в выгодном свете. Выражение восходит к жаргону шулеров-картежников начала XIX в., имевших фальшивые порошковые карты. При помощи особого клейкого состава они наносили на карты дополнительные очки из порошка красного или черного цвета. При необходимости эти очки незаметно стирались.

...Втирать очки – обманывать кого-либо, представлять...

Нас мало, но мы в тельняшках - выражение впервые появилось в Великую Отечественную войну в речи матросов, участвующих вместе с пехотой в боевых действиях на суше и славившихся бесстрашием и героизмом. Выражение означает: нас мало, но мы серьезные противники для врага и победить нас непросто.

...Нас мало, но мы в тельняшках - выражение впервые...

И след простыл (чей-либо) – кто-либо исчез, сбежал, бесследно скрылся. Происхождение оборота связано с охотой. Горячий, или свежий, след на языке охотников – след, оставленный недавно и еще сохраняющий запах животного. Если след простыл, т. е. утратил запах животного, охотничьей собаке весьма трудно обнаружить зверя.

...И след простыл (чей-либо) – кто-либо...

Тяжело в учении, легко в бою - тяжело в учебе, но будет легко в деле, работе, жизни. Это выражение принадлежит А. В. Суворову. Первоначально оно имело значение:  «солдату тяжело на военных учениях, но усвоенные навыки позволят ему легко и уверенно чувствовать себя в бою».

...Тяжело в учении, легко в бою - тяжело в учебе,...

Тяжела ты, шапка Мономаха (книжн., обычно ирон.) - о тяжести власти, ответственности. Это заключительные слова сцены «Царские палаты» драмы А. С. Пушкина  «Борис Годунов». Шапкой Мономаха венчались на царство московские цари, а само выражение получило в произведении Пушкина метафорический смысл  «трудно управлять государством».

...Тяжела ты, шапка Мономаха (книжн., обычно...

Шарашкина контора (прост. пренебр.) - несолидное, не вызывающее доверия учреждение, предприятие, организация. Притяжательное прилагательное шарашкина объясняется диалектным шарань «шваль, голытьба, жулье». Шарашкина контора буквально - «учреждение, организация жуликов, обманщиков». Из оборота, в свою очередь, образовано слово шарага «подозрительное место или группа людей».

...Шарашкина контора (прост. пренебр.) - несолидное...

Дело пахнет керосином (прост. шутл.) – приближается что-либо неприятное, опасное, угрожающее. Выражение восходит к фельетону М. Е. Кольцова, опубликованному в газете «Правда» 22 апреля 1924 года. В нем говорилось о крупной афере, раскрытой при передаче концессии на эксплуатацию нефти в Калифорнии. В афере были замешаны самые высокопоставленные чиновники США.

...Дело пахнет керосином (прост. шутл.) – ...