Улыбка авгуров - обмен улыбками людей, хорошо понимающих друг друга; улыбка обманщиков. Авгурами в Древнем Риме назывались жрецы, толковавшие волю богов по полету и крику птиц. Оратор, писатель и политический деятель Марк Туллий Цицерон в своей книге «О гадании» рассказывает, что, обманывая веривших в их предсказания, авгуры при встрече друг с другом едва удерживались от смеха.

...Улыбка авгуров - обмен улыбками людей, хорошо...

Утечка мозгов, утечка умов - эмиграция научно-технических и творческих работников. Выражение - калька с английского brain drain.

...Утечка мозгов, утечка умов - эмиграция научно-технических...

У черта на куличках (прост.) - очень далеко, неизвестно где, в глуши. Кулички - это прогалины, поляны, болотистые места в лесу (по народным поверьям - излюбленные места обитания нечистой силы).

...У черта на куличках (прост.) - очень далеко, неизвестно...

Факты - упрямая вещь - о чем-либо, что нельзя опровергнуть. Поговорка приобрела крылатость после выхода в свет (1749) английского перевода романа французского писателя А. Р. Лесажа (1668 - 1747)  «История Жиль Бласа»; перевод был сделан английским романистом Т. Д. Смоллеттом (1721 - 1771). Приписывать поговорку, как это иногда делается, самому Лесажу - ошибочно; во французском тексте романа: Les faits parlent  «Факты говорят». До перевода ...

...Факты - упрямая вещь - о чем-либо, что нельзя...

Семь футов под килем - пожелание удачи. Первоначально - в языке моряков - это пожелание, чтобы корабль не сел на мель. 

...Семь футов под килем - пожелание удачи. Первоначально...

Серая мышь - о тихом, незаметном человеке.

...Серая мышь - о тихом, незаметном человеке....

Сермяжная правда - глубокая народная мудрость. Сермяжный - одетый в сермягу, крестьянскую одежду из грубого домотканого сукна. Выражение из романа  «Золотой теленок» И. Ильфа и Е. Петрова.

...Сермяжная правда - глубокая народная мудрость....

Серый кардинал - о том, кто обладает большой властью, но не занимает соответствующего высокого положения и остается в тени. Оборот связан с именем монаха - отца Жозефа, доверенного лица, вдохновителя и участника интриг кардинала Ришелье.

...Серый кардинал - о том, кто обладает большой...

Сжечь свои корабли (книжн.) - решительно порвать с прошлым; делать невозможным возврат к чему-нибудь, отрезая путь к отступлению. Это выражение связывают с различными историческими эпизодами, когда в ходе военных действий намеренно сжигают корабли, чтобы сделать отступление невозможным.

...Сжечь свои корабли (книжн.) - решительно порвать...

С иголочки одет кто (одобр.) - одетый в только что сшитое, во всё новое и нарядное. С иголочки - о чём-н. совсем новом и нарядном, красивом (чаще об одежде). Выражение пришло из тех времен, когда одежду шили вручную, иголкой.

...С иголочки одет кто (одобр.) - одетый в только...