Верно через дефис: экс-глава ФСИН.
Слово сидя не требует обособления.
При употреблении в сочетании с родовым словом согласование не требуется: жители села Ясная Поляна.
Склоняется (мужские и женские фамилии на -а, -я неударное склоняются).
Оба слова нужно писать с заглавной буквы, если топоним относится не к горе, а любому другому объекту (поселку, деревне, улице и проч.). Ср.: район Соколиная Гора, поселок Николина Гора. Если же названный объект — это именно гора, то слово гора должно записываться со строчной буквы как нарицательное существительное. В этом случае названием будет только слово Синяя. Другие примеры: Поклонная гора, Соборная гора. Однако заметим, что в топонимии России существуют такие названия, которые включают в себя географические термины, указывающие на тип объекта, например в Челябинской области есть гора Доменная Гора. Написание названий природных географических объектов и населенных пунктов России можно установить с помощью Государственного каталога географических названий.
Это краткое прилагательное.
Если точнее, то это предикатив.
