Правильно с кавычками: поисковая система "Яндекс".

В строгой литературной речи предпочтительнее использовать первый вариант: по данным портала (сервиса) «Яндекс.Пробки». Второй вариант является новым, поэтому его употребление еще не устоялось. В разговорной речи допустимо сочетание по данным «Яндекс.Пробок».

Для того чтобы подчеркнуть, что слово базовый относится и к английскому, и к немецкому, следует использовать форму множественного числа: базовые английский и немецкий языки.

Если это название употребляется без родового слова (например, сервис), то обычно склоняется только вторая часть (деньги).

Как название проекта - в кавычках: «Яндекс.Метрика».

Нужен обычный типографский пробел.

Название этой компании надо склонять. Работает в Яндекс – это как живет в Москва.

Да, нужна: русский, английский языки.