Само слово месяц здесь лишнее; написания типа январь месяц, март месяц считаются одной из примет канцелярско-бюрократического языка.
Эти сочетания корректны, но писать следует без дефиса, в два слова: январь месяц, май месяц.
Такие сочетания употребительны в канцелярской речи.
Предпочтителен первый вариант.
В данном контексте слово месяц избыточно.
Для канцелярской речи такое выражение вполне приемлемо.
Нет, такой перенос некорректен.
Включать это в сказуемое не требуется. В таких случаях это не считается знаменательным словом и как член предложения не квалифицируется. Чаще всего такое это характеризуют как частицу, акад. Л. В. Щерба считал его связкой.
Подобную замену можно обсуждать, если известен замысел автора и предположительное высказывание. Ваш вопрос не содержит этих сведений.