Все три слова в этом названии пишутся с прописной: Организация Объединенных Наций.
Правильно: тканый узор (т. е. узор, который был выткан).
Слова на -цкий образуются от основ на Ц, К и Ч, причем согласные К и Ч чередуются с Ц, а первый согласный суффикса -ск- фонетически поглощается предшествующим Ц, и это передается на письме сочетанием цк.
Правилен второй вариант, ср.: Кубок европейских чемпионов, Кубок кубков, Кубок мира.
Такое написание корректно.
Написание с прописной буквы правильно.