Верно: ежиный нос и нос ежа.
Правильно: лизнуть нос.
Словарь имён собственных
Нужно писать раздельно. Вот общее правило на этот счет:
"Недопустимо слитное или дефисное написание с приставкой или первой частью сложного слова, если вторая часть содержит пробел, т. е. представляет собой сочетание слов. В этих случаях слитные или дефисные написания, рекомендуемые основными правилами, должны заменяться раздельными. Например, следует писать: лже доктор наук, псевдо произведение искусства, теле круглый стол, мини стиральная машина; экс Советский Союз, псевдо Ван Гог, пол рабочего дня, пол столовой ложки, пол Московской области; то же в парных конструкциях с полу: полудеревни — полу дачные посёлки, полусанаторий — полу дом отдыха, полупародия — полу литературный фельетон, полуясли — полу детский сад".
Корректно: закапать (лекарство) в нос, в глаза...
Приставка экс- присоединяется дефисом: экс-главбух (но: экс главный бухгалтер – раздельное написание со вторым компонентом, представляющим собой атрибутивное сочетание).