См. в окне «Искать на Грамоте», Словарь русских имен.
По-русски говорят: болит голова, кружится голова. (Кстати, утверждают, что собственно мозг болеть не может, т. к. в мозгу нет болевых окончаний.)
Правильно: Численность коров составила пятьдесят одну голову.
Мы не выполняем домашние задания.
Различие в склонении будет наблюдаться только в в. п. мн. ч.: вижу горячие головы (неодуш.) - вижу горячих голов (одуш.). Здесь возможны колебания в склонении.
Это предложение сложное, в нем две грамматические основы.
Да, это пары родственных слов.