Корректно: ...мальчику из Африки.

Да, эти сочетания пишутся с прописной буквы.

Допустимы все три варианта. Они отражают разную интонацию при произнесении. 

Корректно: Сергей Бугаев – Африка или Сергей Бугаев (Африка) (без кавычек).

Корректен первый вариант.

Никогда не говори «никогда» :)

Правильно с прописной буквы: Африканский континент.

В слове Африка корень африк-, совпадающий с основой слова.

Явления, сопровождающие образование слов афроамериканец и Евразия, содержат признаки как словосложения (образование сложных слов), так и аббревиации (образование сложносокращенных слов). В этих словах в качестве первого компонента используются сокращенные корни афр- (сокращение корня африк-) и евр- (сокращение корня европ-), что сближает эти слова со сложносокращенными, ср.: матчасть (мат- ― сокращенный корень матери[j]-), запчасти (зап- ― сокращенный корень запас-) и т. п. С другой стороны, в слове афроамериканец выделяется соединительная гласная о, а использование соединительных гласных (интерфиксов) характерно для словосложения, ср: пароход. В слове Евразия отсутствует материально выраженный соединительный элемент, однако его можно считать нулевым, ср.: Новгород.