Правильно: в Щёлково и в Щёлкове, но (со словом город): в городе Щёлково. Подробнее см. в «Письмовнике»: Как склонять географические названия?
Житель Щелкова - щелковец. Специальное название для жительницы Щелкова словари не приводят, но допустимо - щелковка.